第一卷　摆脱主观

——当编码锚定在规则上

卷首语

第一卷走向光谱的一端。这里的编码者都怀着同一个愿望：让编码不再依赖任何人——不依赖他的心情，不依赖他的身体，甚至不依赖他是否存在。数学、物理、化学、逻辑、计算，是人类在这个方向上走得最远的几次尝试。

本卷要讲两件事。第一，这些编码的起点其实都是主观的，客观性不是现成的，而是被一步步建构出来的。第二，建构成功了，但成功是有价格的。第一卷的最后一章，会把这张账单摊开。

第1章　数学：最极端的编码实验

伽利略在《试金者》里说过一段后来被反复引用的话，大意是：哲学写在宇宙这本始终敞开的大书里，但不先学会它的语言和字符，就读不懂它；而这本书是用数学语言写成的，它的字符是三角形、圆和其他几何图形。

这段话立下了一个延续四百年的信念：世界的底层是数学，人只要找对了符号，就能把世界原原本本地读出来。在所有编码系统里，数学离“不依赖任何人”这个目标最近。所以本书就从它开始——不是因为它最简单，而是因为它最极端。

1.1　从数数到公理：主观如何被一层层过滤掉

想象一个远古的牧人。清晨放羊出圈，每出去一只，他往袋子里放一颗石子；傍晚羊回圈，每回来一只，他取出一颗。石子取完了，羊就齐了。拉丁语里的 calculus 本义就是“小石子”，后来成了“计算”。

这个牧人做的事，正是一次编码。他把一只只活生生的羊——有的瘸腿，有的怀孕，有的是他最喜欢的那只——投影成了一颗颗没有区别的石子。羊的颜色、脾气、名字，全部被丢掉了，只留下一样东西：多少。

这一步丢得非常彻底，却丢得恰到好处。牧人关心的问题是“羊齐了没有”，而回答这个问题，恰好只需要“多少”。

接下来的几千年，数学一直在重复这个动作。先丢掉羊，只留下石子；再丢掉石子，只留下数；再丢掉具体的数，只留下“任意一个数”的规则。到了欧几里得，几何学从几条公理出发，推出整座大厦；到了 19 世纪末的希尔伯特，连公理里的词都不必有意义了。据说他讲过一句话，大意是：几何学里的“点、线、面”，换成“桌子、椅子、啤酒杯”也完全可以，只要它们满足公理规定的关系。

数学的起点在身体里，终点是抽空了意义的关系；每往右一步，主观就被过滤掉一层。

这句玩笑说出了数学编码的终极形态：符号的意义被彻底抽空，只剩下符号之间的关系。没有谁的感受，没有哪一只羊，甚至没有任何具体的东西。

但起点不是这样的。认知科学家拉科夫和努涅斯在《数学从哪里来》中提出，我们最基本的数学概念，都来自身体经验的隐喻：数是一堆东西的多少，加法是把两堆放在一起，数轴是沿着一条路往前走，集合是一个容器。数学的根扎在身体里。

这两种说法并不矛盾，而是同一条路的两端。本书的看法是：数学的起源是主观的，它的结构却被客观化了。过滤掉主观的那一层层工序，正是数学之所以成为数学的地方。

1.2　证明的力量：不需要“理解”也能“知道”

数学里有一种别处没有的东西：证明。

两千多年前，有人证明了 2 的平方根不能写成两个整数之比。证明只有几行：假设它能写成最简分数，推一推，就会发现分子分母都是偶数，与“最简”矛盾。这几行字一旦写对，就对所有人、在所有时代都成立。你不必相信作者，不必和他有共同的经历，甚至不必喜欢这个结论。你只需要一行一行地检查。

这就是规则锚定的编码的力量：知识的有效性不再取决于谁说的，只取决于是否遵守了规则。

这种力量可以走得很远。1976 年，阿佩尔和哈肯用计算机证明了四色定理——任何地图只用四种颜色，就能让相邻区域颜色不同。证明中有大量情形由计算机逐一检验，没有哪个人能在脑子里把它们全部过一遍。我们因此“知道”四色定理是对的，却很难说我们“理解”它为什么对。

知道与理解的分离，在数学里第一次变得这样清晰。它是规则锚定的直接后果：既然有效性不依赖于人，那么人是否理解，也就不再是必要的了。

1.3　同构原理：同一组方程，描述弹簧和电路

一个挂在弹簧上的小球上下振动；一个由线圈和电容组成的电路里，电流来回振荡。一个是机械，一个是电，看起来毫不相干。可写成方程，它们是同一个形式：

m \ddot{x} + k x = 0

弹簧振子

L \ddot{q} + \frac{1}{C} q = 0

LC 电路

质量对应电感，弹簧的劲度对应电容的倒数，位移对应电荷。只要换掉字母，一个方程的全部解，就是另一个方程的全部解。

数学家把这叫作同构：两个系统在结构上完全一样，尽管它们的材料完全不同。

左右两列一一对应，方程形式完全相同；被投影掉的，只是材料。

同构是理解数学编码的一把钥匙。用序章的话说，数学是一种只保留结构、丢掉一切材料的投影。弹簧是钢的还是铜的，电路在实验室还是在收音机里，都被投影掉了；留下的只有“什么和什么成正比，什么随时间怎样变化”。正因为丢掉了材料，同一个编码才能同时套在千百种完全不同的东西上。

这就是数学之所以“有用得不可思议”的部分秘密：它不描述任何一样具体的东西，所以它能描述许多样东西。

1.4　零剩余理想：人类曾以为能编码一切

如果数学能把弹簧和电路编码得如此干净，那么能不能把一切都编码得这样干净？

17 世纪的莱布尼茨梦想过一种“普遍文字”：把所有概念都写成符号，把所有推理都变成计算。将来两个人起了争执，不必吵架，只要坐下来说一声“我们来算一算”。

这个梦在两百年后变成了一项严肃的工程。弗雷格试图把算术建立在纯逻辑之上；罗素与怀特海写下三大卷《数学原理》，要从逻辑公理出发推出全部数学。工程之浩大，以至于“1+1=2”这个命题，要在第一卷数百页之后才正式出现。20 世纪 20 年代，希尔伯特又提出了更宏大的纲领：为全部数学找到一个完备而一致的公理系统，并证明它不会自相矛盾。

这就是本书所说的“零剩余理想”：一套编码，完整地保留它想保留的一切，没有含糊，没有遗漏，任何人都能无损地还原，而且这套编码本身的可靠性，也能用它自己来证明。

值得一提的是，即使在这个最客观的领域里，做数学的人也并不客观。英国数学家哈代在《一个数学家的辩白》里坦言，美是检验数学的第一道关，丑陋的数学在世上没有长久的位置。可同一个哈代又坚信，数学实在独立于我们而存在，我们只是发现它，而不是发明它。用美来挑选，又坚信所选的东西与人无关——这个张力，本书后面还会反复遇到。

1.5　一道裂缝的预告

1931 年，一位 25 岁的奥地利逻辑学家发表了一篇论文，让零剩余理想出现了第一道无法弥合的裂缝。他证明：在任何足够强、又不自相矛盾的形式系统里，都存在一些命题，它们是真的，在系统里也写得出来，却无法在系统里被证明。

注意，是“证不出”，而不是“说不出”。这个区别非常重要。它意味着，即使在最严密的编码里，剩余也不是因为语言太贫乏，而是因为规则本身无法封闭自己的全部真理。

这位逻辑学家叫哥德尔。他的故事，留到第4章细讲。

光谱坐标　第1章

尺子	数学的位置
锚点	公开的公理与推理规则
信息流向	还原：每个合格读者复原出同一个证明
意义位置	在符号之外，换一套记法，结构不变
剩余量	趋近于零，但哥德尔证明它不能为零

第2章　物理与化学：测量作为编码协议

还是伽利略。在同一本《试金者》里，他做了一个思想实验，大意是：如果把耳朵、舌头和鼻子都拿走，形状、数量和运动依然存在，而气味、滋味和声音就不复存在了——离开了有感觉的主体，它们只剩下名称。

这是一次影响深远的切割。世界从此被分成两半：一半是可以测量、可以写成数学的“第一性质”，一半是只存在于感觉里的“第二性质”。物理学选择了前一半。本章要看的，就是物理和化学如何把这一半世界编码下来，以及为了编码它，人类发明了怎样一套协议。

2.1　单位制的发明：把“冷热轻重”变成数字

“今天很冷。”冷是一种感受，北方人和南方人对它的理解截然不同。要把冷编码下来，就得先发明一把尺子。

18 世纪，摄尔修斯提出了一种温标：以水的冰点和沸点为两个锚点，中间分成一百份。有趣的是，他最初的设定与今天相反——沸点是 0 度，冰点是 100 度。数字越大越冷，这在今天看来很别扭，但在逻辑上并没有错。后来人们把它倒了过来。

这个小插曲泄露了一个秘密：单位不是自然给的，是人约定的。选哪两个锚点，分成几份，哪头大哪头小，都是选择。

米的历史更能说明问题。18 世纪末，法国人把米定义为地球子午线长度的某个分数，然后打造了一根铂金尺作为“标准米”。可铂金尺会热胀冷缩、会磨损，地球的测量也有误差。于是到了 1983 年，米被重新定义为光在真空中一段特定时间内走过的距离。2019 年，就连最后一个依赖实物的单位——千克——也改为由普朗克常数来定义。

这两百多年的历程，正是“摆脱主观”的缩影。约定还是约定，但约定的锚点从一个人的手臂，到一根金属棒，再到宇宙的基本常数，一步步远离了任何具体的人和物。

约定始终是约定，变化的是锚点：从一个人的身体，到宇宙的基本常数。

维也纳学派的石里克在《普通认识论》里有一个看法，大意是：认识，就是用概念去标示对象，在概念系统与世界之间建立一一对应。按照本书的说法，测量正是这种标示的最纯粹形式——一个数字，被约定对应于世界的一个状态。

2.2　可重复性：为什么需要第三人称视角

17 世纪的英国，波义耳用空气泵做实验时，常常邀请一群有名望的绅士到场见证，并把实验过程写得极其详尽，好让没到场的人也能照着重做。科学史家认为，这是现代“可重复实验”的源头之一：一个结论要被接受，不能只是你看到了，而必须是任何人按同样步骤都能看到。

这就是第三人称视角。它的潜台词是：你是谁并不重要。

科学史家达斯顿和加里森在《客观性》一书中考证过，“客观性”作为一种科学理想，成形的时间比我们想象的要晚，大约在 19 世纪。那时的科学家开始刻意约束自己：画标本图谱时，不要按自己心中“理想的样子”去修饰，而要尽可能原样记录，最好交给照相机。他们把这种自我约束当成一种美德。

这段历史提醒我们：客观性不是科学天生就有的，而是科学家通过一套纪律训练出来的。它不是“没有主体”，而是“主体被要求退场”。

2.3　模型与实在：编码的是世界，还是我们对世界的操作？

1921 年，爱因斯坦在一次题为《几何学与经验》的演讲中说过一句话，大意是：数学定理只要涉及实在，就不是确定的；只要是确定的，就不涉及实在。

这句话把编码的处境说得很透。一个物理模型越是严密，它就越是一个关于符号的命题；越是贴近真实世界，它就越要承担被经验推翻的风险。模型是投影，不是世界本身。正如那句后来流行的话：地图不是疆域。

但投影可以惊人地有效。19 世纪 60 年代末，门捷列夫把当时已知的化学元素按原子量和性质排成一张表。表上有几个空格，他没有硬塞进别的元素，而是大胆预言：这里应该有一种尚未发现的元素，它的原子量、密度、化学性质大约是多少。几年之后，镓和锗相继被发现，性质与他的预言惊人地吻合。

一张表，一种编码，竟然能从空白处读出世界里还没有被看见的东西。这是规则锚定的编码最令人惊叹的时刻：编码不仅记录了世界，还预言了世界。

2.4　量子力学的挑战：当观察者扰动了被编码的对象

经典物理默认了一个前提：测量不改变被测量的东西。你用尺子量桌子，桌子不会因此变长；你看月亮，月亮不会因为被看而改变位置。编码者站在世界之外。

20 世纪的量子力学动摇了这个前提。在微观世界里，测量本身就是一次相互作用。测量一个电子的位置，就会以不可忽略的方式改变它的状态；而且某些成对的物理量，原则上无法同时被精确确定。严格说来，后者并不只是“测量太粗暴”的问题，而是量子系统本身的性质。但对本书来说，要紧的是同一件事：编码工具不再能置身事外。

这里很容易滑向一种流行的误读，即“意识创造了现实”。本书不走这条路。量子力学并没有把物理变成主观的；它做的是重新定义客观性。客观不再意味着“一个独立于观察的确定状态”，而意味着“在约定的测量协议下，任何观察者得到的统计规律都一样”。

换句话说，当编码者无法退场时，客观性就从“对象本身”转移到了“协议本身”。这是规则锚定走到深处的一个标志：最终被锚定的，不是世界，而是规则。

光谱坐标　第2章

尺子	物理与化学的位置
锚点	测量协议与单位约定，锚点越来越远离具体的人与物
信息流向	还原：按同样步骤，任何人得到同样的数
意义位置	在符号之外，数字指向世界的状态
剩余量	很小，但“第二性质”整体被划出了编码范围

第3章　逻辑与计算：纯符号的自治世界

1980 年，哲学家塞尔设想了一个房间。他本人坐在里面，一个中文字也不认识。门缝里递进来写着中文问题的纸条，他手里有一本用英文写的规则手册，告诉他看到什么样的符号，就写出什么样的符号。他照章办事，递出去的回答，在门外的中国人看来与母语者毫无二致。

塞尔的问题是：这个房间懂中文吗？他的回答是：不懂。仅仅操作符号，不足以产生理解。

这个思想实验，本书到第15章还会正式讨论。在这里，它先帮我们看清一件事：在逻辑与计算的世界里，编码已经走到了一个奇特的地方——符号可以完全脱离理解而自行运转。

3.1　命题演算：真值表里没有“也许”

1854 年，英国数学家布尔出版了一本书，书名直译过来是《思维规律的研究》。他想做的，是把人类的推理写成代数。在布尔之后发展起来的命题逻辑里，每一句话只有两种可能的值：真，或者假。没有“也许”，没有“看情况”，没有“我觉得”。

把“并且”“或者”“如果……那么”都定义成真值表之后，推理就变成了查表。这正是规则锚定的极致：一个论证是否有效，只取决于它的形式，与内容无关。

但请看这个句子：“如果月亮是奶酪做的，那么二加二等于四。”按照命题逻辑对“如果……那么”的定义，这句话是真的——因为后半句是真的，整句就为真，前半句是什么无关紧要。

日常语言里没有人会这样说话。我们说“如果……那么”的时候，默认前后之间有某种联系：原因、理由、相关。命题逻辑把这种联系投影掉了，只保留了真值。这是一个很小的剩余，却是一个很典型的剩余：为了让推理可以机械地检查，“相关”这种依赖理解的东西必须被舍弃。

3.2　图灵机：当编码变成自我执行

1936 年，24 岁的图灵发表了论文《论可计算数》。为了回答“什么是机械计算”这个问题，他设想了一台极其简单的机器：一条无限长的纸带，一个读写头，一张有限的状态表。读写头读一个格子，按状态表写一个符号，左移或右移一格，换一个状态——仅此而已。

图灵论证，凡是人按照明确规则一步步进行的计算，这台机器都能做。更惊人的是，他证明可以造一台“通用”的机器：只要把另一台机器的状态表也编码成纸带上的符号，通用机就能模仿它。

读写头只做四件事：读一格、写一格、移一格、换状态。规则本身也可以写上纸带，这就是通用机。

这是编码史上的一个转折点。在此之前，编码是被人读的；从此以后，编码可以自己执行自己。程序就是数据，数据也可以是程序。今天你手里的每一部手机，都是这个想法的后代。

3.3　算法的客观性：为什么计算机不需要“懂”

计算机执行一个排序算法，它不知道自己在给什么排序，是工资、成绩还是基因序列；它也不知道排序有什么用。可它排出来的结果，与一个理解这一切的人排出来的结果完全一样。

这就是算法的客观性：结果只取决于规则和输入，与执行者是谁、懂不懂无关。从编码的角度看，这是“摆脱主观”最彻底的一次胜利——在第1章，数学让“知道”与“理解”分离；到了计算机，连“知道”的那个人都不需要了。

回到塞尔的房间。房间之所以能成立，正是因为规则手册足够完备，完备到执行者无须理解。塞尔用它来论证计算机没有理解；本书在这里只取它的另一面：规则锚定的编码，一旦足够完备，就可以让解码者“退场”。

3.4　规则从哪里来：符号自治背后站着设计者

但符号真的能完全自治吗？

请注意图灵那篇论文里的一个关键步骤：他要论证“凡是人能机械计算的，他的机器都能计算”。这一步不是数学证明，而是一个判断。后来这个判断被称为丘奇—图灵论题。之所以叫“论题”而不叫“定理”，正是因为它无法被证明——它连接的是一个严格的数学概念和一个人类的直观概念：“机械地、按规则地计算”到底是什么意思。

这个细节泄露了逻辑与计算世界里的主观残留。规则手册可以完备到执行者无须理解，但写手册的人必须理解。选用哪些逻辑联结词，接受哪些推理规则，怎样定义“计算”，这些都是在符号系统之外、由人作出的选择。

符号的世界是自治的，但它的宪法是人写的。

光谱坐标　第3章

尺子	逻辑与计算的位置
锚点	形式规则；结果与执行者无关
信息流向	还原到极致：执行者无须理解
意义位置	在符号之外，甚至可以不存在
剩余量	系统内几乎为零；被移到了系统之外——规则的设计

第4章　客观性的价格（过渡章）

维特根斯坦在《逻辑哲学论》的序言里写道：凡是能够说的，都能够说清楚；凡是不能谈论的，就应该保持沉默。

前三章讲的，都是“说清楚”的那一半：数学、物理、逻辑、计算，是人类把能说的东西说得最清楚的几种方式。本章要转过身，看看为了说清楚，我们付出了什么。

4.1　哥德尔：说得出，证不出

回到第1章结尾那道裂缝。

1931 年，哥德尔做了一件看似不可能的事：他在算术内部，构造出一个命题，其大意是“这个命题在本系统中不可证明”。如果系统能证明它，系统就证明了一个假命题，因而自相矛盾；如果系统不自相矛盾，它就证明不了这个命题——而这恰恰意味着，这个命题说的是真的。

结论是：任何足够强、又不自相矛盾的形式系统，都包含一些真的、但在系统内不可证明的命题。这就是第一不完备定理。第二不完备定理更进一步：这样的系统，无法在自身内部证明自己不自相矛盾。

希尔伯特纲领的梦想——一个完备而一致、并能自证一致的公理系统——就此落空。

这里必须再强调一次那个区别：哥德尔的命题是说得出的。它就写在系统的语言里，一个符号都不缺。缺的不是表达，而是证明。剩余不在语言之外，而在规则之内：规则可以写出一句真话，却无法用自己推出它。

本书把这种剩余叫作“形式的剩余”。它和后面要讲的另一种剩余——体验的、存在的剩余——性质完全不同。混淆两者，是谈论哥德尔时最常见的错误。

哥德尔句在“说得出”之内、“证得出”之外；维特根斯坦的“不可说”，则落在“说得出”的边界之外。

4.2　公理也是选择

两千年来，欧几里得的第五公设——过直线外一点，有且只有一条直线与它平行——一直让数学家不安。它不像其他公理那样“显然”，许多人试图用其他公理证明它，都失败了。

19 世纪，罗巴切夫斯基、鲍耶和黎曼先后意识到：换掉这条公设，也能建立起同样自洽的几何。在一种几何里，过直线外一点有无数条平行线；在另一种里，一条也没有。后来，爱因斯坦的广义相对论用的恰恰是非欧几何。

公理原来不是被发现的真理，而是被选择的起点。

20 世纪初，布劳威尔走得更远。他认为，对于无穷的对象，“要么真、要么假”的排中律不能不加限制地使用：你不能仅仅因为“假设它不存在会导致矛盾”，就断言一个无穷对象存在，你必须把它构造出来。由此发展出的直觉主义数学，放弃了一部分经典数学里的证明。希尔伯特对此极为不满，据说他讲过，大意是：剥夺数学家使用排中律的权利，就像不许天文学家用望远镜、不许拳击手用拳头。

这场争论没有被“证明”解决，因为它争的正是：什么算证明。在最客观的编码的最底层，躺着一个选择。而选择，是人作出的。

4.3　编码得了结构，编码不了“为什么在乎”

数学可以告诉你，一座桥在什么载荷下会断；它不能告诉你，这座桥该不该建。物理可以算出一颗炸弹的威力；它不能告诉你，该不该扔下它。

这不是数学和物理的缺陷，而是它们的设计。为了让编码不依赖任何人，它们必须把“谁在乎、为什么在乎”统统投影掉。投影掉了，编码就干净了，同时也就沉默了。

维特根斯坦在《逻辑哲学论》接近结尾的地方表达过类似的意思，大意是：即使一切可能的科学问题都得到了回答，我们的人生问题也还完全没有被触及。

这就是客观性的价格。规则锚定的编码换来了可重复、可检验、可共享，代价是把意义、价值、在乎，连同每一个具体的人，都留在了编码之外。

4.4　走向另一端

现在可以把第一卷的账单列出来。

我们得到的：一种不依赖任何人的编码，所有人都能在它面前达成一致；它可以预言尚未发现的元素，可以让机器替我们计算，可以把弹簧和电路写成同一个方程。

我们付出的：第二性质被划出了物理世界；“相关”被划出了逻辑；“为什么在乎”被划出了数学；而在这一切的最底层，规则本身的选择，仍然是人作出的，并且这套规则永远无法封闭它自己的全部真理。

可人类要编码的，不只是桥梁的载荷和电子的轨迹。我们还想告诉别人：我很痛苦；这首曲子让我想起了母亲；这件事是不对的。对于这些东西，把编码者请出去的方法不再奏效，因为要被编码的，恰恰就是编码者本身的体验。

于是需要另一种编码：不把主观当作要过滤的杂质，而把它当作锚点。那是光谱的另一端，也是第二卷的起点。

光谱坐标　第一卷总览

尺子	第一卷的共同位置
锚点	规则：公理、单位、协议、算法
信息流向	还原：解码者越来越不需要理解
意义位置	在符号之外，意义被抽空或指向世界
剩余量	系统内趋近于零；被推到系统之外——规则的选择、第二性质、“为什么在乎”

第一卷 摆脱主观

卷首语

第1章 数学：最极端的编码实验

1.1 从数数到公理：主观如何被一层层过滤掉

1.2 证明的力量：不需要“理解”也能“知道”

1.3 同构原理：同一组方程，描述弹簧和电路

1.4 零剩余理想：人类曾以为能编码一切

1.5 一道裂缝的预告

光谱坐标 第1章

第2章 物理与化学：测量作为编码协议

2.1 单位制的发明：把“冷热轻重”变成数字

2.2 可重复性：为什么需要第三人称视角

2.3 模型与实在：编码的是世界，还是我们对世界的操作？

2.4 量子力学的挑战：当观察者扰动了被编码的对象

光谱坐标 第2章

第3章 逻辑与计算：纯符号的自治世界

3.1 命题演算：真值表里没有“也许”

3.2 图灵机：当编码变成自我执行

3.3 算法的客观性：为什么计算机不需要“懂”

3.4 规则从哪里来：符号自治背后站着设计者

光谱坐标 第3章

第4章 客观性的价格（过渡章）

4.1 哥德尔：说得出，证不出

4.2 公理也是选择

4.3 编码得了结构，编码不了“为什么在乎”

4.4 走向另一端

光谱坐标 第一卷总览