第7章 · 分析：从离散到连续，从局部到整体

公元前450年左右，古希腊哲学家芝诺提出了一个困扰人类两千年的悖论。 阿基里斯与乌龟： 阿基里斯是希腊最快的跑者。他和一只乌龟赛跑，乌龟先出发100米。阿基里斯的速度是乌龟的10倍。 当阿基里斯跑到乌龟的出发点（100米处）时，乌龟已经向前爬了10米。 当阿基里斯再跑10米时，乌龟又向前爬了1米。 当阿基里斯再跑1米时，乌龟又向前爬了0.1米。 ……如此无限继续。 结论：阿基里斯永远追不上乌龟。 这个结论显然是荒谬的——我们都知道阿基里斯一定能追上乌龟。但芝诺的论证在逻辑上似乎无懈可击：每一步阿基里斯都先要到达乌龟"刚才"的位置，而乌龟在此期间已经向前移动了一点。 问题出在哪里？ 两千多年后，数学给出了答案。但这个答案需要的不是一个……